MA TRẬN TRỰC GIAO LÀ GÌ

  -  
Mỗi thành phần của một ma trận thường xuyên đc cam kết hiệu bởi một đổi thay cùng với nhị chỉ số nghỉ ngơi bên dưới. ví dụ như, a2,1 màn biểu diễn bộ phận sinh sống mặt hàng vật dụng nhì và cột thứ nhất của ma trận A.

Bạn đang xem: Ma trận trực giao là gì


Bài Viết: Ma trận trực giao là gì

Trong tân oán học tập, ma trận là 1 trong mảng chữ nhật<1>—đều số, ký hiệu, hoặc biểu thức, bố trí theo mặt hàng and cột<2><3>—nhưng mà từng ma trận theo đúng các quy định định trước. Từng ô vào ma trận đc hotline là số đông thành phần hoặc mục. lấy ví dụ một ma trận bao gồm 2 mặt hàng and 3 cột.

. 1&9&-1320&5&-6end}.}


*

Lúc phần đa ma trận tất cả thuộc kích thước (chúng bao gồm cùng số sản phẩm and cùng số cột), thì hoàn toàn có thể kiến thiết phép cùng hoặc trừ hai ma trận bên trên phần đông phần tử tương ứng của chúng. Tuy nhiên, điều khoản phải thực hiện được phép nhân ma trận chỉ có thể xây đắp được khi ma trận thứ nhất có số cột bằng số mặt hàng của ma trận vật dụng nhị. Phần mềm bao gồm của ma trận đó là phnghiền trình diễn đông đảo biến hóa tuyến đường tính, Tức là sự bao quát hóa hàm tuyến tính như f(x) = 4x . ví dụ như, phép cù mọi vectơ vào không trung ba chiều là một phxay đổi khác đường tính mà lại rất có thể màn biểu diễn bằng một ma trận xoay R: ví như v là vectơ cột (ma trận chỉ đựng một cột) miêu tả vị trí đặt của một điểm trong ko trung, tích của Rv là một trong vec tơ cột diễn đạt nơi đặt của đặc điểm đó sau phép con quay này. Tích của nhì ma trận thay đổi là một trong những ma trận biểu diễn hợp của nhì phép thay đổi tuyến đường tính. Một phần mềm khác của ma trận đấy là tra cứu nghiệm của rất nhiều hệ phương thơm trình đường tính. Nếu là ma trận vuông, rất có thể thu đc một số trong những đặc điểm của nó bằng phương pháp thức tính định thức của nó. lấy ví dụ, ma trận vuông là ma trận khả nghịch ví như & chỉ giả dụ định thức của nó không giống ko. Quan niệm hình học của một phxay biến đổi đường tính là dấn được (tuy vậy song cùng với các ban bố khác) tự trị riêng and vec tơ riêng biệt của ma trận.

cũng có thể cảm thấy ứng dụng của kim chỉ nan ma trận trong đa phần hầu như ngành nghề kỹ thuật. Trong từng nhánh của đồ dùng lý học, tất cả cơ học cổ điển, quang học, điện từ bỏ học tập, cơ học lượng tử, and điện đụng lực học lượng tử, chúng đc cần thực hiện nhằm nghiên giúp hầu như hiện tượng đồ vật lý, nlỗi di chuyển của đồ vật rắn. Trong giao diện máy tính, ma trận được buộc phải thực hiện nhằm chiếu một hình ảnh 3D lên màn hình 2 chiều. Trong lý thuyết Xác Suất & đo đạc, rất nhiều ma trận bất kể đc bắt buộc thực hiện để miêu tả tập hợp hồ hết xác suất; ví dụ, chúng sử dụng vào thuật toán thù PageRank để xếp giao diện mọi trang vào lệnh tìm kiếm của Google.<4> Phxay tính ma trận tổng quát hóa gần như tư tưởng trong giải tích như đạo hàm and hàm mũ nếu với số chiều to ra thêm.

Một nhánh chủ yếu của giải tích số dành nhằm cách tân và phát triển hầu như thuật tân oán hữu hiệu mang đến hầu như tính toán thù ma trận, một chủ thể vẫn hàng ngàn năm tuổi và là một ngành nghề nghiên giúp rộng thời nay. Cách thức knhì triển ma trận có tác dụng đơn giản hóa đông đảo tính tân oán cả về mặt lý thuyết lẫn thực hành thực tế. Các thuật tân oán dựa vào các cấu trúc của không ít ma trận đặc điểm, nhỏng ma trận thưa (sparse) & ma trận sát chéo cánh, cứu vớt giải quyết những tính toán trong phương pháp phần tử hữu hạn và những tính tân oán khác. Ma trận vô hạn xuất hiện trong cơ học tập thiên thể & kim chỉ nan ngulặng tử. Một ví dụ đơn giản về ma trận vô hạn là ma trận trình diễn đông đảo toán tử đạo hàm, mà lại chức năng cho chuỗi Taylor của một hàm số.


1 Định nghĩa 1.1 Độ to 2 Lịch sử 3 Ký hiệu 4 Những phxay toán căn bản 4.1 Phxay cùng, nhân một vài cùng với ma trận, & ma trận chuyển vị 4.2 Nhân ma trận 4.3 Phnghiền toán thù hàng 4.4 Ma trận con 5 Phương thơm trình tuyến đường tính 6 Biến đổi đường tính 7 Ma trận vuông 7.1 Những loại ma trận đặc điểm 7.1.1 Ma trận tam giác 7.1.2 Ma trận đơn vị chức năng 7.1.3 Ma trận đối xứng hoặc đối xứng lệch 7.1.4 Ma trận khả nghịch and nghịch hòn đảo của chính nó 7.1.5 Ma trận cam kết 7.1.6 Ma trận trực giao 7.2 Những tính tân oán chủ yếu 7.2.1 Vết 7.2.2 Định thức 7.2.3 Ma trận nghịch hòn đảo 7.2.4 Vectơ riêng rẽ và trị riêng biệt 8 Khía cạnh tính tân oán 9 Phân tích ma trận 10 Khía cạnh đại số trừu tượng & bao quát hóa 10.1 Ma trận cùng với số đông bộ phận mở rộng 10.2 Mối contact cùng với ánh xạ con đường tính 10.3 Nhóm ma trận 10.4 Ma trận rỗng 11 Phần mượt 11.1 Lý tngày tiết thiết bị thị 11.2 Giải tích & hình học tập 11.3 Lý tngày tiết Phần Trăm & đo đạc 11.4 Đối xứng and mọi biến đổi vào vật lý học tập 11.5 Tổ thích hợp tuyến đường tính của rất nhiều tâm lý lượng tử 11.6 Dao đụng riêng biệt 11.7 Quang hình học tập 11.8 Điện tử học tập 12 Đọc thêm 13 Đọc thêm 13.1 Đọc thêm về đồ vật lý 13.2 Đọc thêm về lịch sử hào hùng 14 Links kế bên


Định nghĩa

Ma trận là một trong mảng chữ nhật cất số đông số hoặc các đối tượng người tiêu dùng người tiêu dùng tân oán học không giống, mà lại có thể khái niệm một số trong những phnghiền tân oán như cộng hoặc nhân trên phần nhiều ma trận.<5> Hay gặp độc nhất vô nhị đấy là ma trận bên trên một ngôi trường F là một trong những mảng chữ nhật chứa phần lớn đại lượng vô vị trí hướng của F.<6><7> Bài viết này đề cập tới đầy đủ ma trận thực và phức, có nghĩa là hầu hết ma trận cơ mà đều bộ phận của nó là những số thực hoặc số phức. Các một số loại ma trận tổng quát hơn được bàn luận nghỉ ngơi dưới. ví dụ như, ma trận thực:

A = . =-1,3&0,6đôi mươi,4&5,59,7&-6,2end}.}


*

Những số, ký hiệu xuất xắc biểu thức trong ma trận đc call là phần nhiều thành phần của nó. Những mặt đường theo pmùi hương ngang hoặc phương thơm dọc cất hầu như thành phần vào ma trận đc gọi tương xứng là mặt hàng và cột.

Độ to

Độ lớn tốt cỡ của ma trận đc tư tưởng bằng số lượng mặt hàng và cột cơ mà ma trận tất cả. Một ma trận m sản phẩm và n cột được Điện thoại tư vấn là ma trận m × n hoặc ma trận m-nhân-n, trong lúc m & n được gọi là chiều của chính nó. lấy ví dụ như, ma trận A ngơi nghỉ trên cao là ma trận 3 × 2.

Ma trận chỉ chứa một sản phẩm Hotline là vectơ hàng, & các ma trận chỉ đựng một cột Hotline là vectơ cột. Ma trận có thuộc số hàng và số cột được Call là ma trận vuông. Ma trận có vô hạn số hàng hoặc số cột (hoặc cả hai) đc Gọi là ma trận vô hạn. Trong một vài ĐK, như chương trình đại số máy tính, vẫn có lợi Lúc xét một ma trận mà lại không có hàng hoặc không tồn tại cột, goi là ma trận rỗng.


Tên Gọi Độ lớn ví dụ như Mô tả Vectơ mặt hàng 1 × n 3&7&2end}}


*

Ma trận cất một sản phẩm, thỉnh thoảng đc sử dụng nhằm trình diễn một vectơ Vectơ cột n × 1 418end}}


*

Ma trận đựng một cột, nhiều khi đc sử dụng nhằm màn trình diễn một vectơ Ma trận vuông n × n 9&13&51&11&72&6&3end}}


*

Ma trận có cùng số mặt hàng & số cột, nó đc đề xuất thực hiện để biểu diễn phép chuyển đổi tuyến tính từ 1 ko trung vec tơ vào thiết yếu nó, như phnghiền phản nghịch ứng, phép tảo hoặc ánh xạ cắt.

Lịch sử

Ma trận chứa một lịch sử vẻ vang dài về phần mềm vào giải hồ hết phương trình tuyến đường tính tuy thế chúng được biết đến là hầu như mảng cho đến tận các năm 1800. Cuốn sách Cửu chương thơm tân oán thuật viết vào tầm năm 152 TCN nêu ra phương thơm trận để giải hệ năm phương thơm trình tuyến đường tính,<8> kể cả quan niệm về định thức. Năm 1545 công ty toán học tín đồ Ý Girolamo Cardano trình làng cách thức giải này vào châu Âu khi ông tuyên ổn ba quyển Ars Magna.<9> Nhà toán học tập Nhật Bản Seki sẽ bắt buộc áp dụng phương thức mảng này nhằm giải hệ phương thơm trình vào năm 1683.<10> Nhà toán học Hà Lan Jan de Witt lần trước tiên trình diễn gần như biến hóa bên dưới dạng ma trận mảng vào cuốn nắn sách viết năm 1659 Elements of Curves (1659).<11> Giữa trong thời hạn 1700 and 1710 Gottfried Wilhelm Leibniz tuyên cha phương thức đề xuất áp dụng các mảng nhằm giữ gìn báo cáo tuyệt kiếm tìm nghiệm and nghiên giúp trên 50 nhiều loại ma trận không giống nhau.

Xem thêm: Tác Dụng Và Liều Dùng Của Thuốc Omeprazol 20Mg Là Thuốc Gì, Omeprazole Là Thuốc Gì

<9> Cramer nêu ra luật pháp của ông vào thời điểm năm 1750.

Thuật ngữ vào tiếng Anh “matrix” (tiếng Latin là “womb”, dẫn xuất từ bỏ mater—mẹ<12>) do James Joseph Sylvester ném ra vào khoảng thời gian 1850,<13> Khi ông rành mạch rằng ma trận là một trong những đối tượng khách hàng có tác dụng xuất hiện một số trong những định thức mà thời buổi này điện thoại tư vấn là phần phụ đại số, có nghĩa là định thức của những ma trận nhỏ dại rộng thu đc tự ma trận thuở đầu bằng phương pháp thức xóa đi phần đông sản phẩm & phần nhiều cột. Trong một bài xích báo năm 1851, Sylvester giải thích:

Tôi vẫn có mang vào bài bác báo trước về “Ma trận” là 1 mảng chữ nhật chứa các bộ phận, nhưng những định thức khác nhau rất có thể nêu ra định thức của ma trận bà bầu.<14>

Arthur Cayley đăng một siêng luận về đa số phxay đổi khác hình học buộc phải áp dụng ma trận quanh đó các phxay biến đổi cù vẫn được khảo sát trước đó. Ttuyệt vào kia, ông có mang những phxay toán nlỗi cùng, trừ, nhân và phân chia những ma trận này & chứng tỏ đều quy định phối hợp và ưng ý vẫn đc đồng tình. Cayley đã nghiên giúp & minh chứng Điểm lưu ý ko giao hoán của phnghiền nhân ma trận tương tự tính giao hân oán của phxay cộng ma trận.<9> Lý ttiết ma trận sơ knhị bị giới hạn sinh hoạt phương pháp buộc phải áp dụng các mảng & tính định thức and phần lớn phnghiền toán thù ma trận trừu tượng của Arthur Cayley sẽ trsinh sống cần cuộc phương pháp mạng mang lại triết lý này. Ông buộc phải áp dụng khái niệm ma trận cho hệ phương trình tuyến tính tự do. Năm 1858 Cayley tuyên ổn bố Nhật ký kết về triết lý ma trận<15><16> trong các số đó ông bỏ ra and chứng minh định lý Cayley-Hamilton.<9>


Nhà tân oán học fan Anh Cullis là người trước tiên yêu cầu áp dụng cam kết hiệu ngoặc hiện đại mang đến ma trận vào năm 1913 and ông cũng viết ra ký hiệu quan trọng A = nhằm màn trình diễn một ma trận cùng với ai,j là bộ phận ở mặt hàng máy i và cột sản phẩm j.<9>

Công đoạn nghiên giúp định thức xuất xứ trường đoản cú một số mối cung cấp khác nhau.<17> Những bài xích tân oán số học dẫn Gauss đi cho tương tác đầy đủ thông số của dạng toàn phương thơm, các nhiều thức bao gồm dạng x2 + xy − 2y2, và ánh xạ tuyến đường tính trong không trung tía chiều cùng với ma trận. Eisenstein đang trở nên tân tiến xa hơn phần lớn tư tưởng này, với review theo cách thức phạt bộc lộ đại rằng tích ma trận là không giao hoán thù. Cauchy là tín đồ trước tiên chứng tỏ các mệnh đề bao quát về định thức, lúc ông đề xuất áp dụng quan niệm nhỏng sau về định thức của ma trận A = : thay thế sửa chữa lũy quá ajk bởi ajk trong đa thức

a 1 a 2 ⋯ a n ∏ i

*

với Π cam kết hiệu tích đông đảo thông số đứng đằng sau. Ông cũng minh chứng vào khoảng thời gian 1829 rằng kinh phí riêng của những ma trận đối xứng là thực.

Xem thêm: Tài Liệu Choi Game Sieu Nhan Cuong Phong Mien Phi, Game Siêu Nhân

<18> Jacobi nghiên giúp “định thức hàm”—nhưng trong tương lai biến thành định thức Jacobi nlỗi cách thức Hotline của Sylvester—nó đc ứng dụng để nghiên giúp hầu như biến hóa hình học ở tầm mức cục bộ (hay cực kỳ bé); bài xích báo Vorlesunren über die Theorie der Determinanten của Kronecker <19> & Zur Determinantentheorie của Weierstrass,<20> cả nhị hồ hết đc tuim bố vào khoảng thời gian 1903, lần trước tiên sẽ coi định thức theo phương pháp tiên đề hóa, ngược chở lại so với phương thức tiếp cận cụ thể ngơi nghỉ những lần trước kia nlỗi trong phương pháp của Cauchy.

phần lớn định lý ban đầu chỉ tuyên bố cho hầu như ma trận bé dại, ví nhỏng định lý Cayley–Hamilton được chứng minh mang lại ma trận 2×2 như Cayley đề ra trong luận án của mình, & vì Hamilton mang đến ma trận 4×4. Frobenius, dựa trên số đông dạng tuy vậy tuyến đường tính, sẽ bao quát định lý sang trọng đa số size (1898). Cũng vào cuối thế kỷ 19 phương thức khủ Gauss–Jordan (bao quát hóa đến điều kiện đặc thù đấy là phxay khử Gauss) vì chưng bên trắc địa Wilhelm Jordan ném ra. Trong vào đầu thế kỷ 20, ma trận đang đạt mức nút vai trò trung trọng tâm vào đại số tuyến tính,<21> một trong những phần nhờ vào phần mềm của nó vào phân loại khối hệ thống số cực kỳ phức vào thay kỷ trước.

Sự ban đầu của cơ học tập ma trận vì chưng rất nhiều công ty thứ lý Heisenberg, Born và Jordan bỏ ra vẫn dẫn tới nghiên giúp về ma trận tất cả vô hạn sản phẩm và cột.<22> Later, von Neumann đã tùy chỉnh cấu hình lên tuyên bố toán học tập của cơ học tập lượng tử, bằng cách thức cải cách và phát triển xa hơn những định nghĩa của giải tích hàm nhỏng toán tử tuyến đường tính vào ko trung Hilbert, mà, nói qua loa, tương xứng cùng với ko trung Euclide, nhưng mà có vô hạn hướng tự do.

A = . =a_&a_&cdots &a_a_&a_&cdots &a_vdots &vdots &ddots &vdots a_&a_&cdots &a_end}.}

Một cách thức cam kết hiệu không giống là đề nghị sử dụng dấu ngoặc đối chọi to lớn gắng mang đến vệt ngoặc vuông: